Můžeme vykreslit úplnou sadu diagnostik pro {kappa}.

. bayesgraph diagnostics {kappa}

Ke grafu posteriorní hustoty můžeme přidat prioritní hustotu a vizuálně porovnat prioritu a posterioritu.

. bayesgraph kdensity kappa, addplot(function Prior = betaden(30,70,x), ///
         legend(on label(1 "Posterior")) lcolor(blue))

Můžeme zkoumat posteriorní hustoty funkcí parametrů modelu, jako je koeficient Taylorova pravidla 1/{delta}.

. bayesstats summary (1/{delta})

Posterior summary statistics                       MCMC sample size =      10,000

        expr1 : 1/delta



       
 
                                                               
       
 
                                                     Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median     [95% cred. interval]

      expr1
 
 1.722922     .1225577    .015302   1.713714      1.513533   2.009195

Posteriorní průměr pro 1/{delta} je 1,7, což je více než předchozí průměr 1,5 a ukazuje na silnou reakci úrokových sazeb na změny inflace.

Můžeme vypočítat bayesovské funkce impulzní odezvy. Nejprve uložíme výsledky MCMC do souboru dat nk_mcmc.dta.. Můžeme tak učinit během odhadu pomocí volby saving() nebo i po odhadu opakováním příkazu bayes s volbou saving().

. bayes, saving(nk_mcmc.dta, replace)
note: file nk_mcmc.dta not found; file saved.

S uloženým vzorkem MCMC můžeme zkonstruovat funkce impuls-odpověď pomocí sady bayesirf. Tato sada příkazů rozšiřuje irf o bayesovský odhad a je k dispozici po příkazech bayes: dsge, bayes: dsgenl a bayes: var.

. bayesirf set bayes_irfs.irf, replace
(file bayes_irfs.irf created)
(file bayes_irfs.irf now active)

. bayesirf create nk_model
(file bayes_irfs.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(m) response(x p r m)

V levém horním panelu je zobrazena reakce měnové proměnné m na šok. Pravý horní panel ukazuje reakci inflace na šok: inflace klesá a poté se monotónně vrací do ustáleného stavu. Levý spodní panel ukazuje reakci úrokové sazby: roste. A konečně pravý spodní panel ukazuje reakci mezery výstupu: klesá pod 0, což znamená recesi. Kontrakční měnový šok tedy zvyšuje úrokovou sazbu, snižuje inflaci a způsobuje pokles produktu.

To vše a ještě více lze provést pomocí příkazu bayes: dsge.

Nelineární model DSGE

Předpona Bayes funguje také s příkazem dsgenl, který odhaduje parametry nelineárních DSGE modelů pomocí perturbace prvního řádu.

Dále odhadneme parametry stochastického modelu růstu. Model má rovnice pro spotřebu, reálnou úrokovou míru, HDP, zásobu kapitálu a produktivitu.

 (1/c     = {beta}*(1/F.c)*(1+F.r-{delta})    )       ///
 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)

Makroekonomové tyto vztahy rozeznají jako Eulerovu rovnici spotřeby, rovnici poptávky po kapitálu, produkční funkci, rovnici akumulace kapitálu a zákon pohybu produktivity.

Parametry mají výklad: {beta} je diskontní sazba, která se obvykle pohybuje kolem 0,95; {alpha} je podíl kapitálu na důchodu, který se obvykle pohybuje kolem jedné třetiny; {delta} je míra odpisů, obvykle 2,5 % za čtvrtletí; a {rho} je perzistence technologického šoku. K tomu, aby se tyto informace promítly do odhadu, se používají priory.

Parametry tohoto modelu odhadujeme pomocí detrendovaného výstupu. Datová sada m1gdp.dta poskytuje logaritmus výstupu.

. webuse m1gdp, clear

. describe

Contains data from  https://www.stata-press.com/data/r17/m1gdp.dta
 Observations:            223
    Variables:              3                   26 Mar 2020 02:49


Variable     Storage     Display     Value                          
    name        type      format     label    Variable label        

  t               int        %tq              Quarterly time variable
  ln_m1         float      %9.0g              ln(M1) monthly to quarterly by
                                               averaging: M1 is Fred M1SL, Bil
                                               of $ seas adj
  ln_gdp        float      %9.0g              ln(gdpc1) FRED GDP in Bil of 1996
                                               chained $ seas adj

Sorted by: t

Příkaz tsfilter extrahuje trendovou složku výstupu. Použijeme Hodrickův-Prescottův filtr a výsledek pak škálujeme 100násobkem. Výsledné měřítko je takové, že hodnota 1 znamená, že HDP je 1 % nad svou trendovou hodnotou.

. tsfilter hp y = ln_gdp

. replace y = 100*y
(222 real changes made)

. tsline y, title("HP-detrended output")

Recese je spojena s poklesem produkce pod trend, zatímco konjunktura je spojena s růstem produkce nad trend.

Pokračujeme v odhadu parametrů.

. bayes, prior({alpha}, beta(30,70))                ///
         prior({beta},  beta(95,5))                 ///
         prior({delta}, beta(25,900))               ///
         prior({rho},   beta(10, 10))               ///
         rseed(20) dots saving(rbc_mcmc, replace):  ///
         dsgenl (1/c      = {beta}*(1/F.c)*(1+f.r-{delta})    )       ///
                 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
                 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
                 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
                 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
                 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)
note: initial parameter vector set to means of priors.

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaa...2000..... done
Simulation 10000 .........1000.........2000.........3000.........4000.........
5000.........6000.........7000.........8000.........9000.........10000 done

Model summary
Likelihood:
  y ~ dsgell({beta},{delta},{alpha},{rho},{sd(e.z)})

Priors:
     {beta} ~ beta(95,5)
    {delta} ~ beta(25,900)
    {alpha} ~ beta(30,70)
      {rho} ~ beta(10,10)
  {sd(e.z)} ~ igamma(.01,.01)
Bayesian first-order DSGE model                  MCMC iterations  =     12,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =     10,000
Sample: 1947q1 thru 2002q2                       Number of obs    =        222
                                                 Acceptance rate  =      .2189
                                                 Efficiency:  min =     .02528
                                                              avg =     .04236
Log marginal-likelihood =  -311.7914                          max =     .05567



       
 
                                                               
       
 
                                                   Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median   [95% cred. interval]

      beta
 
 .9095501     .0392698    .001886   .9133171   .8231531   .9726171
     delta
 
 .0286052     .0054865    .000345      .0284   .0192159   .0404854
     alpha
 
 .2768864     .0451422    .002097   .2738962   .1964999   .3772306
       rho
 
 .7680742      .036755    .001813   .7680699   .6950177   .8412948
    sd(e.z)
 
 .9340691     .0458306    .001943   .9328126   .8502487   1.032548

Předběžný průměr diskontní sazby {beta} je 0,95; její posteriorní průměr se příliš nezměnil a činí 0,91. Předběžný průměr míry amortizace {delta} je 0,025; její posteriorní průměr je málo změněný a činí 0,0286. Předběžný průměr {alfa} je 0,3; jeho posteriorní průměr je mírně nižší a činí 0,28. Zatímco posteriorní průměr {rho} je 0,77, což je mnohem více než jeho předchozí průměr 0,5. Směrodatná odchylka technologického šoku je přibližně 1.

Dále vypočítáme funkce impulsní odezvy na technologický šok.

. bayesirf set bayes_irf2.irf, replace
(file bayes_irf2.irf created)
(file bayes_irf2.irf now active)

. bayesirf create rbc_model, step(16)
(file bayes_irf2.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(z) byopts(yrescale)

Jednotky na svislé ose jsou v procentech odchylky od ustáleného stavu. Jednotky na vodorovné ose jsou ve stejném časovém trvání jako data, tj. ve čtvrtletích. Vykreslujeme 16 kroků (4 roky) odpovědí.

• Reakce spotřeby je vynesena v levém horním panelu. Spotřeba při nárazu stoupá a poté pokračuje v růstu ve tvaru hrbu, než se vrátí do ustáleného stavu.
• Reakce zásoby kapitálu je znázorněna v horním středním panelu. Zásoba kapitálu se při dopadu nepohybuje, ale poté stoupá až na vrchol o 0,6 % nad svůj ustálený stav a poté klesá.
• V pravém horním panelu úroková sazba při dopadu roste a poté klesá; po čtyřech čtvrtletích klesá pod 0 a poté se vrací do ustáleného stavu zespodu.
• V levém dolním panelu je znázorněna reakce výstupu, který při nárazu roste a poté monotónně klesá zpět do ustáleného stavu.
• Na spodním prostředním panelu je znázorněna reakce samotné technologie. I ta při nárazu roste a poté monotónně klesá zpět do ustáleného stavu.

Přesné posteriorní průměry a věrohodné intervaly lze zobrazit pomocí Bayesirfovy tabulky. Níže uvádíme tabulku reakce spotřeby na technologický šok.

. bayesirf table irf, impulse(z) response(c)

Results from rbc_model



       
 
                                  
       
 
     (1)        (2)         (3)   
  step 
 
     irf       Lower       Upper  

      0
 
 .363699     .209593     .502829
      1
 
 .421867     .245335     .587063
      2
 
 .445802     .269215     .606835
      3
 
 .446962     .280481     .595064
      4
 
 .433453     .282893     .575041
      5
 
 .410962     .282863     .540024
      6
 
 .383436     .272859     .511974
      7
 
 .353574     .254899     .473345
      8
 
 .323189     .227486     .440766
      9
 
 .293459     .195011      .40683
     10
 
 .265119     .162333     .379442
     11
 
 .238595     .133143     .354938
     12
 
 .214099     .108564     .334151
     13
 
   .1917     .087822     .313609
     14
 
 .171372     .071785     .294301
     15
 
 .153031     .057275     .270277
     16
 
 .136556     .045631     .251522

Posterior means reported
95% equal-tailed credible lower and upper bounds reported.
(1) irfname = rbc_model, impulse, = z, and response = c.

Po technologickém šoku o jednu standardní odchylku spotřeba vzroste a ve třetím období po šoku dosáhne maxima 0,447 % nad svou ustálenou hodnotou.