Nous pouvons tracer un ensemble complet de diagnostics pour{kappa}.

. bayesgraph diagnostics {kappa}

Nous pouvons ajouter la densité antérieure au tracé de la densité postérieure pour comparer visuellement l’antérieure et la postérieure.

. bayesgraph kdensity kappa, addplot(function Prior = betaden(30,70,x), ///
         legend(on label(1 "Posterior")) lcolor(blue))

We can examine posterior densities of functions of model parameters, such as the Taylor rule coefficient 1/{delta}.

. bayesstats summary (1/{delta})

Posterior summary statistics                       MCMC sample size =      10,000

        expr1 : 1/delta



       
 
                                                               
       
 
                                                     Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median     [95% cred. interval]

      expr1
 
 1.722922     .1225577    .015302   1.713714      1.513533   2.009195

La moyenne postérieure de 1/{delta} est de 1,7, supérieure à la moyenne antérieure de 1,5 et indiquant une forte réaction des taux d’intérêt aux variations de l’inflation.
Nous pouvons calculer les fonctions de réponse impulsionnelle bayésiennes. Tout d’abord, nous enregistrons les résultats MCMC dans un ensemble de données, nk_mcmc.dta. Nous pouvons le faire pendant l’estimation avec l’option saving() ou même après l’estimation en rejouant la commande bayes avec l’option saving().

. bayes, saving(nk_mcmc.dta, replace)
note: file nk_mcmc.dta not found; file saved.

Une fois l’échantillon MCMC sauvegardé, nous pouvons construire des fonctions de réponse impulsionnelle avec la suite bayesirf. Cette suite de commandes étend irf pour permettre l’estimation bayésienne et est disponible après bayes : dsge, bayes : dsgenl, et bayes : var.

. bayesirf set bayes_irfs.irf, replace
(file bayes_irfs.irf created)
(file bayes_irfs.irf now active)

. bayesirf create nk_model
(file bayes_irfs.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(m) response(x p r m)

Le panneau supérieur gauche montre la réponse de la variable d’état monétaire m à un choc sur elle-même. Le panneau supérieur droit montre la réponse de l’inflation au choc : elle diminue puis revient de façon monotone à l’état d’équilibre. Le panneau inférieur gauche montre la réponse du taux d’intérêt : il augmente. Enfin, le panneau en bas à droite montre la réponse de l’écart de production : il passe en dessous de 0, indiquant une récession. Le choc monétaire contractionniste augmente donc le taux d’intérêt, réduit l’inflation et fait baisser la production.
Tout ceci et bien plus encore peut être réalisé avec la commande bayes : dsge.

Modèle DSGE non linéaire

Le préfixe bayes fonctionne également avec la commande dsgenl, qui estime les paramètres des modèles DSGE non linéaires par perturbation du premier ordre.
Ensuite, nous estimons les paramètres d’un modèle de croissance stochastique. Ce modèle comporte des équations pour la consommation, le taux d’intérêt réel, le PIB, le stock de capital et la productivité.

 (1/c     = {beta}*(1/F.c)*(1+F.r-{delta})    )       ///
 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)

Les macroéconomistes reconnaîtront ces relations comme une équation d’Euler de la consommation, une équation de demande de capital, une fonction de production, une équation d’accumulation du capital et une loi de mouvement de la productivité, respectivement.
Les paramètres ont une interprétation : {beta} est le taux d’actualisation, généralement considéré comme étant d’environ 0,95 ; {alpha} est la part du capital dans le revenu, généralement considérée comme étant d’environ un tiers ; {delta} est le taux de dépréciation, généralement de 2,5% par trimestre ; et {rho} est la persistance du choc technologique. Les prieurs sont utilisés pour faire intervenir ces informations dans l’estimation.
Nous estimons les paramètres de ce modèle à l’aide de la production détendue. L’ensemble de données m1gdp.dta fournit le logarithme de la production.

. webuse m1gdp, clear

. describe

Contains data from  https://www.stata-press.com/data/r17/m1gdp.dta
 Observations:            223
    Variables:              3                   26 Mar 2020 02:49


Variable     Storage     Display     Value                          
    name        type      format     label    Variable label        

  t               int        %tq              Quarterly time variable
  ln_m1         float      %9.0g              ln(M1) monthly to quarterly by
                                               averaging: M1 is Fred M1SL, Bil
                                               of $ seas adj
  ln_gdp        float      %9.0g              ln(gdpc1) FRED GDP in Bil of 1996
                                               chained $ seas adj

Sorted by: t

La commande tsfilter permet d’extraire la composante tendancielle de la production. Nous utilisons un filtre Hodrick-Prescott, puis nous augmentons le résultat d’un facteur 100. L’échelle résultante est telle qu’une valeur de 1 indique que le PIB est supérieur de 1% à sa valeur tendancielle.

. tsfilter hp y = ln_gdp

. replace y = 100*y
(222 real changes made)

. tsline y, title("HP-detrended output")

Les récessions sont associées à une baisse de la production en dessous de la tendance, tandis que les booms sont associés à une hausse de la production au-dessus de la tendance.
Nous procédons à l’estimation des paramètres.

. bayes, prior({alpha}, beta(30,70))                ///
         prior({beta},  beta(95,5))                 ///
         prior({delta}, beta(25,900))               ///
         prior({rho},   beta(10, 10))               ///
         rseed(20) dots saving(rbc_mcmc, replace):  ///
         dsgenl (1/c      = {beta}*(1/F.c)*(1+f.r-{delta})    )       ///
                 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
                 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
                 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
                 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
                 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)
note: initial parameter vector set to means of priors.

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaa...2000..... done
Simulation 10000 .........1000.........2000.........3000.........4000.........
5000.........6000.........7000.........8000.........9000.........10000 done

Model summary
Likelihood:
  y ~ dsgell({beta},{delta},{alpha},{rho},{sd(e.z)})

Priors:
     {beta} ~ beta(95,5)
    {delta} ~ beta(25,900)
    {alpha} ~ beta(30,70)
      {rho} ~ beta(10,10)
  {sd(e.z)} ~ igamma(.01,.01)
Bayesian first-order DSGE model                  MCMC iterations  =     12,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =     10,000
Sample: 1947q1 thru 2002q2                       Number of obs    =        222
                                                 Acceptance rate  =      .2189
                                                 Efficiency:  min =     .02528
                                                              avg =     .04236
Log marginal-likelihood =  -311.7914                          max =     .05567



       
 
                                                               
       
 
                                                   Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median   [95% cred. interval]

      beta
 
 .9095501     .0392698    .001886   .9133171   .8231531   .9726171
     delta
 
 .0286052     .0054865    .000345      .0284   .0192159   .0404854
     alpha
 
 .2768864     .0451422    .002097   .2738962   .1964999   .3772306
       rho
 
 .7680742      .036755    .001813   .7680699   .6950177   .8412948
    sd(e.z)
 
 .9340691     .0458306    .001943   .9328126   .8502487   1.032548

La moyenne antérieure du taux d’actualisation {beta} est de 0,95 ; sa moyenne postérieure est peu modifiée à 0,91. La moyenne antérieure du taux de dépréciation {delta} est de 0,025 ; sa moyenne postérieure est peu modifiée à 0,0286. La moyenne antérieure de {alpha} est de 0,3 ; sa moyenne postérieure est légèrement inférieure à 0,28. Par ailleurs, la moyenne postérieure de {rho} est de 0,77, soit beaucoup plus que sa moyenne antérieure de 0,5. L’écart type du choc technologique est d’environ 1.
Nous calculons ensuite les fonctions de réponse impulsionnelle à un choc technologique.

. bayesirf set bayes_irf2.irf, replace
(file bayes_irf2.irf created)
(file bayes_irf2.irf now active)

. bayesirf create rbc_model, step(16)
(file bayes_irf2.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(z) byopts(yrescale)

Les unités de l’axe vertical sont des écarts en pourcentage par rapport à l’état d’équilibre. Les unités de l’axe horizontal sont dans la même durée que les données, c’est-à-dire les trimestres. Nous traçons 16 étapes (4 ans) de réponses.

• La réponse de la consommation est représentée dans le panneau supérieur gauche. La consommation augmente au moment de l’impact, puis continue d’augmenter en forme de bosse avant de retomber à son état d’équilibre.
• La réponse du stock de capital est représentée dans le panneau supérieur médian. Le stock de capital ne bouge pas au moment de l’impact mais augmente ensuite jusqu’à un pic de 0,6 % au-dessus de son état d’équilibre avant de diminuer.
• Dans le panneau supérieur droit, le taux d’intérêt augmente au moment de l’impact, puis diminue ; il tombe en dessous de 0 après quatre trimestres, puis revient à son état d’équilibre par le bas.
• Le panneau inférieur gauche montre la réponse de la production ; elle augmente à l’impact et retombe ensuite de façon monotone vers son état d’équilibre.
• Le panneau inférieur médian représente la réponse de la technologie elle-même. Elle augmente également en fonction de l’impact, puis retombe de façon monotone vers son état stable.

Les moyennes postérieures exactes et les intervalles crédibles peuvent être visualisés avec le tableau bayesirf. Ci-dessous, nous présentons la réponse de la consommation à un choc technologique.

. bayesirf table irf, impulse(z) response(c)

Results from rbc_model



       
 
                                  
       
 
     (1)        (2)         (3)   
  step 
 
     irf       Lower       Upper  

      0
 
 .363699     .209593     .502829
      1
 
 .421867     .245335     .587063
      2
 
 .445802     .269215     .606835
      3
 
 .446962     .280481     .595064
      4
 
 .433453     .282893     .575041
      5
 
 .410962     .282863     .540024
      6
 
 .383436     .272859     .511974
      7
 
 .353574     .254899     .473345
      8
 
 .323189     .227486     .440766
      9
 
 .293459     .195011      .40683
     10
 
 .265119     .162333     .379442
     11
 
 .238595     .133143     .354938
     12
 
 .214099     .108564     .334151
     13
 
   .1917     .087822     .313609
     14
 
 .171372     .071785     .294301
     15
 
 .153031     .057275     .270277
     16
 
 .136556     .045631     .251522

Posterior means reported
95% equal-tailed credible lower and upper bounds reported.
(1) irfname = rbc_model, impulse, = z, and response = c.

Après un choc technologique d’un écart-type, la consommation augmente et culmine à 0,447 % au-dessus de sa valeur d’équilibre dans la troisième période après le choc.