Рівняння можуть бути динамічними у двох сенсах: лаги фіксують поведінку, що дивиться назад, а очікувані майбутні значення фіксують поведінку, спрямовану на майбутнє. Моделі DSGE можна використовувати для аналізу політики, наприклад впливу монетарних шоків, фіскальних шоків тощо.

Байєсівська оцінка складається з двох кроків: визначення моделі DSGE та визначення пріоритетів для параметрів моделі DSGE.

Невелика нова кейнсіанська модель має рівняння інвестицій та заощаджень (IS), яке пов’язує розрив виробництва з процентною ставкою, криву Філіпса, яка зв’язує інфляцію з розривом виробництва, і правило Тейлора, яке зв’язує відсоткову ставку з інфляцією. У синтаксисі Stata модель виглядає так:

    (   x = F.x - (r - F.p - z)   , unobserved ) ///
    (   p = {beta}*F.p + {kappa}*x             ) ///
    (   r = 1/{delta}*p + m                    ) ///
    ( F.z = {rhoz}*z, state                    ) ///
    ( F.m = {rhom}*m, state                    )

Перше рівняння — це крива IS, друга — крива Філіпса, а третє — правило Тейлора. Четверте рівняння — це шок IS, а п’яте — монетарний шок за правилом Тейлора.

Параметр unobserved на кривій IS вказує на те, що ми розглядаємо розрив виробництва як неспостережений. Ми підганяємо модель до даних про інфляцію та процентну ставку.
Ми додаємо попередню специфікацію для кожного параметра. Багато параметрів DSGE мають інтерпретації, які природно обмежують діапазон допустимих значень. Параметр {beta} на кривій Філліпса є ставкою дисконтування і має знаходитися в межах від 0 до 1. Параметр {kappa}– це параметр коригування ціни, який часто вважають невеликим, але позитивним. Параметр {delta} є зворотним до коефіцієнта коригування інфляції за правилом Тейлора, тому він повинен лежати між 0 і 1. На додаток до цих обмежень діапазону, можна мати пріоритети щодо ймовірного розташування значення параметра. Ставка дисконтування, ймовірно, становить близько 0,95, параметр коригування інфляції близько 0,2, а коефіцієнт зворотного коригування інфляції близько 0,66 (для коефіцієнта правила Тейлора 1,5). Приори дозволяють вам чітко включити цю інформацію в оцінку.
Розглянемо дані про рівень інфляції та ставку федеральних фондів з 1955 року.

. webuse usmacro2
(Federal Reserve Economic Data - St. Louis Fed, 2017-01-15)

. describe p r


Variable     Storage     Display     Value                          
    name        type      format     label    Variable label        

  p            double     %10.0g              Growth rate of prices (GDPDEF)
  r            double     %10.0g              Federal funds rate (FEDFUNDS)
         
  

. summarize p r


         
 
                                                     
 Variable
 
         Obs         Mean       Std. dev.        Min        Max

       p 
 
        2.44     3.236709       2.281433   -.6681431   11.60957
       r 
 
        2.44     5.035328        3.59569         .07       19.1

Зібравши як попередню специфікацію, так і специфікацію моделі, наша команда оцінки є

. bayes, prior({beta},  beta(95,5))                   ///
         prior({kappa}, beta(30,70))                  ///
         prior({delta}, beta(60,30))                  ///
         prior({rhoz},  beta(10,10))                 ///
         prior({rhom},  beta(10,10))                 ///
         rseed(17) :                                  ///
         dsge (  x = F.x - (r - F.p - z), unobserved) ///
              (  p = {beta}*F.p + {kappa}*x         ) ///
              (  r = 1/{delta}*p + m                ) ///
              (F.z = {rhoz}*z, state                ) ///
              (F.m = {rhom}*m, state                )
note: initial parameter vector set to means of priors.

Burn-in ...
Simulation ...

Model summary
Likelihood:
  p r ~ dsgell({beta},{kappa},{delta},{rhoz},{rhom},{sd(e.z)},{sd(e.m)})

Priors:
             {beta} ~ beta(95,5)
            {kappa} ~ beta(30,70)
            {delta} ~ beta(60,30)
        {rhoz rhom} ~ beta(10,10)
  {sd(e.z) sd(e.m)} ~ igamma(.01,.01)

Bayesian linear DSGE model                     MCMC iterations  =     12,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling       Burn-in          =      2,500
                                               MCMC sample size =     10,000
Sample: 1955q1 thru 2015q4                     Number of obs    =        244
                                               Acceptance rate  =      .2483
                                               Efficiency:  min =    .005767
                                                            avg =     .02115
Log marginal-likelihood = -794.29162                        max =     .03808



       
 
                                                               
       
 
                                                     Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median     [95% cred. interval]

      beta
 
 .9406005     .0243801    .001984   .9428465     .8869374   .9812481
     kappa
 
  .206337     .0327608    .001679   .2046031     .1470858    .273637
     delta
 
 .5832685     .0404188    .004897   .5835278      .497712   .6607058
      rhoz
 
 .9171911      .015764    .000978   .9170596     .8846393   .9467265
      rhom
 
  .561412     .0296339    .001667   .5621747     .5036024   .6184265
    sd(e.z)
 
 .5280986      .057275    .003639   .5255331     .4217194   .6467684
    sd(e.m)
 
 2.161816     .1585077    .020872   2.141682     1.902066   2.533669

Зведення моделі показує модель ймовірності та попередні специфікації. Необхідні пріоритети для всіх, крім стандартних відхилень. У випадку моделей DSGE це має сенс, оскільки параметри пов’язані з економічною теорією. Наприклад, пріоритетом для коефіцієнта дисконтування {beta} є бета з параметрами форми 95 і 5. Стандартні відхилення потрясінь змінним стану z і m були призначені за замовчуванням оберненими гамма-априорами.

Вихідні дані оцінки показують кількість періодів вигорання (2500), розмір вибірки MCMC (10000), розмір вибірки даних (244 періоди), період вибірки (1955q1–2015q4), а також швидкість прийняття та ефективність процес оцінки. Коефіцієнт прийняття відноситься до частки розіграшів MCMC, яка була прийнята. Типові значення для пробовідбірника Metropolis–Hastings, що використовується, становлять від 20% до 30%; наш рівень прийняття становить 24%. Ефективність пов’язана з автокореляцією малюнків MCMC і вказує, як швидко семплер проходить простір параметрів. Наша середня ефективність становить 2,1%.

Вихідні дані оцінки відображають середнє значення апостеріорних параметрів, стандартні відхилення, медіани та достовірні інтервали з рівним хвостом. Заднє середнє значення {beta} становить 0,94, дуже близько до попереднього середнього значення 0,95. Заднє середнє значення {kappa} становить приблизно 0,21, що нижче попереднього середнього значення 0,30. Заднє середнє значення для {delta} становить 0,58, що нижче попереднього середнього значення 0,66. Обидва по подачі є дуже стійкими, із заднім середнім коефіцієнтом автокореляції на z та m 0,92 та 0,56 відповідно. За середніми стандартними відхиленнями початкових рівнів становлять 0,53 для удару IS z і 2,16 для монетарного шоку m за правилом Тейлора.

Усі байєсівські функції післяоцінки Stata працюють після bayes: dsge.

Ми можемо побудувати задню щільність попереднього коригувального параметра {kappa}.

. bayesgraph kdensity {kappa}

Ми можемо побудувати повний набір діагностики для {kappa}.

. bayesgraph diagnostics {kappa}

Ми можемо додати попередню щільність до графіка апостеріорної щільності, щоб візуально порівняти попередню і апостеріорну.

. bayesgraph kdensity kappa, addplot(function Prior = betaden(30,70,x), ///
         legend(on label(1 "Posterior")) lcolor(blue))

Ми можемо досліджувати апостеріорні щільності функцій параметрів моделі, наприклад, коефіцієнт правила Тейлора 1/{delta}.

. bayesstats summary (1/{delta})

Posterior summary statistics                       MCMC sample size =      10,000

        expr1 : 1/delta



       
 
                                                               
       
 
                                                     Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median     [95% cred. interval]

      expr1
 
 1.722922     .1225577    .015302   1.713714      1.513533   2.009195

Попереднє середнє значення для 1/{delta} становить 1,7, що вище попереднього середнього значення 1,5 і вказує на сильну реакцію процентних ставок на зміни інфляції.

Ми можемо обчислити байєсівські функції імпульс-відповідь. Спочатку ми зберігаємо результати MCMC у наборі даних nk_mcmc.dta. Ми можемо зробити це під час оцінки за допомогою параметра saving() або навіть після оцінки, повторивши команду bayes за допомогою параметра saving().

. bayes, saving(nk_mcmc.dta, replace)
note: file nk_mcmc.dta not found; file saved.

Зі збереженим зразком MCMC ми можемо побудувати імпульсно-відповідні функції за допомогою набору bayesirf Цей набір команд розширює irf для врахування байєсівської оцінки і доступний після bayes: dsge, bayes: dsgenl і b>bayes: var.

. bayesirf set bayes_irfs.irf, replace
(file bayes_irfs.irf created)
(file bayes_irfs.irf now active)

. bayesirf create nk_model
(file bayes_irfs.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(m) response(x p r m)

Верхня ліва панель показує реакцію змінної монетарного стану m на шок для неї самої. Верхня права панель показує реакцію інфляції на шок: вона зменшується, а потім монотонно повертається до стійкого стану. У нижній лівій панелі показано реакцію процентної ставки: вона зростає. Нарешті, нижня права панель показує реакцію розриву виробництва: він падає нижче 0, що вказує на спад. Таким чином, монетарний шок, що скорочується, підвищує процентну ставку, знижує інфляцію та спричиняє зниження виробництва.

Все це та багато іншого можна виконати за допомогою команди bayes: dsge.

Нелінійна модель DSGE

Префікс Байеса також працює з командою dsgenl, яка оцінює параметри нелінійних моделей DSGE за збуренням першого порядку.

Далі ми оцінимо параметри стохастичної моделі зростання. Модель містить рівняння для споживання, реальної процентної ставки, ВВП, капіталу та продуктивності.

 (1/c     = {beta}*(1/F.c)*(1+F.r-{delta})    )       ///
 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)

Макроекономісти визнають ці співвідношення як рівняння Ейлера споживання, рівняння попиту на капітал, виробничу функцію, рівняння нагромадження капіталу та закон руху продуктивності відповідно.

Параметри мають інтерпретацію: {beta} – це ставка дисконтування, яка зазвичай становить близько 0,95; {alpha} – частка капіталу в доході, зазвичай вважається приблизно однією третиною; {delta} – норма амортизації, зазвичай 2,5% на квартал; і {rho} – стійкість технологічного шоку. Приори використовуються для того, щоб ця інформація вплинула на оцінку.

Ми оцінюємо параметри цієї моделі за допомогою виходу з детрендом. Набір даних m1gdp.dta надає логарифм виводу.

. webuse m1gdp, clear

. describe

Contains data from  https://www.stata-press.com/data/r17/m1gdp.dta
 Observations:            223
    Variables:              3                   26 Mar 2020 02:49


Variable     Storage     Display     Value                          
    name        type      format     label    Variable label        

  t               int        %tq              Quarterly time variable
  ln_m1         float      %9.0g              ln(M1) monthly to quarterly by
                                               averaging: M1 is Fred M1SL, Bil
                                               of $ seas adj
  ln_gdp        float      %9.0g              ln(gdpc1) FRED GDP in Bil of 1996
                                               chained $ seas adj

Sorted by: t

Команда tsfilter витягує компонент тренду з результату. Ми використовуємо фільтр Ходріка-Прескотта, а потім масштабуємо результат у 100 разів. Отримана шкала така, що значення 1 вказує, що ВВП на 1% вище його тенденційного значення.

. tsfilter hp y = ln_gdp

. replace y = 100*y
(222 real changes made)

. tsline y, title("HP-detrended output")

Рецесії пов’язані зі зниженням виробництва нижче тренду, тоді як підйоми пов’язані зі зростанням виробництва вище тренду.

Приступаємо до оцінки параметрів.

. bayes, prior({alpha}, beta(30,70))                ///
         prior({beta},  beta(95,5))                 ///
         prior({delta}, beta(25,900))               ///
         prior({rho},   beta(10, 10))               ///
         rseed(20) dots saving(rbc_mcmc, replace):  ///
         dsgenl (1/c      = {beta}*(1/F.c)*(1+f.r-{delta})    )       ///
                 (r       = {alpha}*y/k                       )       ///
                 (y       = z*k^({alpha})                     )       ///
                 (f.k     = y - c + (1-{delta})*k             )       ///
                 (ln(f.z) = {rho}*ln(z)                       ) ,     ///
                 exostate(z) endostate(k) observed(y) unobserved(c r)
note: initial parameter vector set to means of priors.

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaa...2000..... done
Simulation 10000 .........1000.........2000.........3000.........4000.........
5000.........6000.........7000.........8000.........9000.........10000 done

Model summary
Likelihood:
  y ~ dsgell({beta},{delta},{alpha},{rho},{sd(e.z)})

Priors:
     {beta} ~ beta(95,5)
    {delta} ~ beta(25,900)
    {alpha} ~ beta(30,70)
      {rho} ~ beta(10,10)
  {sd(e.z)} ~ igamma(.01,.01)
Bayesian first-order DSGE model                  MCMC iterations  =     12,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =     10,000
Sample: 1947q1 thru 2002q2                       Number of obs    =        222
                                                 Acceptance rate  =      .2189
                                                 Efficiency:  min =     .02528
                                                              avg =     .04236
Log marginal-likelihood =  -311.7914                          max =     .05567



       
 
                                                               
       
 
                                                   Equal-tailed
       
 
     Mean     Std. dev.      MCSE     Median   [95% cred. interval]

      beta
 
 .9095501     .0392698    .001886   .9133171   .8231531   .9726171
     delta
 
 .0286052     .0054865    .000345      .0284   .0192159   .0404854
     alpha
 
 .2768864     .0451422    .002097   .2738962   .1964999   .3772306
       rho
 
 .7680742      .036755    .001813   .7680699   .6950177   .8412948
    sd(e.z)
 
 .9340691     .0458306    .001943   .9328126   .8502487   1.032548

Попереднє середнє значення ставки дисконтування {бета} становить 0,95; його заднє середнє мало змінено на рівні 0,91. Попереднє середнє значення коефіцієнта амортизації {delta} становить 0,025; його заднє середнє мало змінилося на рівні 0,0286. Попереднє середнє значення {альфа} дорівнює 0,3; його заднє середнє дещо нижче – 0,28. Між тим, заднє середнє значення {rho} становить 0,77, що набагато більше, ніж попереднє середнє значення 0,5. Стандартне відхилення технологічного шоку становить приблизно 1.

Далі ми обчислюємо функції імпульсної реакції на технологічний шок.

. bayesirf set bayes_irf2.irf, replace
(file bayes_irf2.irf created)
(file bayes_irf2.irf now active)

. bayesirf create rbc_model, step(16)
(file bayes_irf2.irf updated)

. bayesirf graph irf, impulse(z) byopts(yrescale)

Одиниці вертикальної осі представлені у відсотках відхилень від усталеного стану. Одиниці горизонтальної осі мають ту саму тривалість, що й дані, тобто квартали. Ми накреслили 16 кроків (4 роки) відповідей.

• Відповідь споживання зображено у верхній лівій панелі. Споживання зростає під час удару, а потім продовжує зростати у формі горба, перш ніж повернутися до свого стабільного стану.
• Відповідь про запас капіталу зображено на панелі вгорі посередині. Акціонерний капітал не змінюється під час впливу, але після цього піднімається до піку на 0,6% вище свого стабільного стану, перш ніж знизитися.
• У верхній правій панелі відсоткова ставка підвищується під час впливу, а потім падає; він опускається нижче 0 через чотири чверті, а потім повертається до свого стійкого стану знизу.
• На нижній лівій панелі зображено реакцію виводу; він піднімається при ударі, а потім монотонно падає назад у свій стаціонарний стан.
• Нижня і середня панель показує реакцію самої технології. Він також піднімається при ударі, а потім монотонно падає назад у свій стаціонарний стан.

Точні задні середні значення та достовірні інтервали можна переглянути за допомогою таблиці Байзерфа. Нижче ми наведемо таблицю реакції споживання на технологічний шок.

. bayesirf table irf, impulse(z) response(c)

Results from rbc_model



       
 
                                  
       
 
     (1)        (2)         (3)   
  step 
 
     irf       Lower       Upper  

      0
 
 .363699     .209593     .502829
      1
 
 .421867     .245335     .587063
      2
 
 .445802     .269215     .606835
      3
 
 .446962     .280481     .595064
      4
 
 .433453     .282893     .575041
      5
 
 .410962     .282863     .540024
      6
 
 .383436     .272859     .511974
      7
 
 .353574     .254899     .473345
      8
 
 .323189     .227486     .440766
      9
 
 .293459     .195011      .40683
     10
 
 .265119     .162333     .379442
     11
 
 .238595     .133143     .354938
     12
 
 .214099     .108564     .334151
     13
 
   .1917     .087822     .313609
     14
 
 .171372     .071785     .294301
     15
 
 .153031     .057275     .270277
     16
 
 .136556     .045631     .251522

Posterior means reported
95% equal-tailed credible lower and upper bounds reported.
(1) irfname = rbc_model, impulse, = z, and response = c.

Після технологічного шоку з одним стандартним відхиленням споживання зростає і досягає піку на 0,447% вище свого стабільного значення в третій період після шоку.