Lássuk hogyan mükődik

• Kétszintű modellek
• Nemlineáris többszintű modellek
• SEM típusú modellek
• A longitudinális és a túlélési adatok együttes modelljei
• Többváltozós, nemlineáris növekedési modellek

Kétszintű modellek

Kezdjük egyszerűen, és először illesszünk be néhány kétszintes modellt.
Lássuk a bayesi többszintű modelleket a bayes előtag használatával. Itt bemutatjuk a bayes: mixed és más bayes többszintű parancsok használatát, hogy illeszkedjenek a Bayesi többszintű modellekhez. Ismételjük meg itt a specifikációk egy részét a bayesmh új véletlen hatású szintaxisával.
Ugyanazokat az adatokat vesszük figyelembe a belső és londoni iskolák harmadik és ötödik évfolyamainak matematikai pontszámairól (Mortimore et al. 1988).Meg akarjuk vizsgálni az iskolák hatását a matematikai pontszámokra.
Illesszünk ezekhez az adatokhoz egy egyszerű kétszintű véletlenszerű elfogó modellt a bayesmh segítségével. A véletlenszerű elfogásokat iskolai szinten U0[school] néven adjuk meg, és beépítjük a regressziós specifikációba.
A bayesmh minden paraméterhez előzetes specifikációt igényel, a véletlenszerű effektek kivételével. Véletlenszerű effektusok esetén normális előzetes eloszlást feltételez, 0-s átlaggal és {var_U0}, varianciakomponenssel, ahol U0 a véletlen hatás neve.
De meg kell adnunk a {var_U0} előtagját. Megadjuk a normál priorokat, 0-s átlaggal és 10 000-es varianciával a regressziós együtthatókra, és egy inverz-gamma előtti alakra és 0,01-es skálára a variancia-komponensekre. Megadjuk a magot a reprodukálhatóság érdekében, és kisebb, 1000-es MCMC-méretet használunk.

. bayesmh math5 math3 U0[school], likelihood(normal({var_0}))
 prior({math5:}, normal(10000)) 
 prior({var_U0 var_0}, igamma(0.01, 0.01) split)
 rseed(17) mcmcsize(1000)

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaaaaa2000aaaaa done
Simulation 1000 .........1000 done


Model summary

Likelihood:
  math5 ~ normal(xb_math5,{var_0})
 
Priors:
  {math5:math3 _cons} ~ normal(0,10000)                                    (1)
         {U0[school]} ~ normal(0,{var_U0})                                 (1)
              {var_0} ~ igamma(0.01,0.01)
 
Hyperprior:
  {var_U0} ~ igamma(0.01,0.01)

(1) Parameters are elements of the linear form xb_math5.

Bayesian normal regression                       MCMC iterations  =      3,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      1,000
                                                 Number of obs    =        887
                                                 Acceptance rate  =       .184
                                                 Efficiency:  min =     .01949
                                                              avg =     .02627
Log marginal-likelihood                                       max =     .03782



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

math5        
 
       math3 
 
  .6106683   .0294298   .004785   .6118322    .557625   .6666446
       _cons 
 
  30.33802    .286075   .054654   30.30869   29.78776   30.90507

       var_0 
 
  28.04414   1.127223   .255309   28.12474    25.9292   30.12599
      var_U0 
 
   4.18167   1.324194   .293471   3.791668   2.443605    8.09385

Az eredmények hasonlóak a bayes: mixed véletlenszerű elfogásokban keverve. Ugyanezt a postestimation elemzést megismételhettük abból a szakaszból a bayesmh után, beleértve a véletlenszerű effektusok megjelenítését és grafikonjait. A fő modellparaméterek mellett a Bayes-modellek az összes véletlenszerű hatást is megbecsülik. Ez ellentétben áll a gyakori elemzéssel, ahol a véletlenszerű hatásokat nem a modell paramétereivel együtt becsüljük meg, hanem a modell paramétereitől függő becslés után.
Ezután véletlenszerű együtthatókat adunk a math , mint c.math3#U1[school]. Ezenkívül meg kell adnunk egy előtagot a varianciakomponenshez {var_U1}. Hozzáadtuk a variancia-komponensek listájához az inver-gamma előtagot.

. bayesmh math5 math3 U0[school] c.math3#U1[school], likelihood(normal({var_0}))
 prior({math5:}, normal(10000))
 prior({var_U0 var_U1 var_0}, igamma(0.01, 0.01) split)
 rseed(17) mcmcsize(1000)

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaa....2000..... done
Simulation 1000 .........1000 done


Model summary

Likelihood:
  math5 ~ normal(xb_math5,{var_0})
 
Priors:
  {math5:math3 _cons} ~ normal(0,10000)                                    (1)
         {U0[school]} ~ normal(0,{var_U0})                                 (1)
         {U1[school]} ~ normal(0,{var_U1})                                 (1)
              {var_0} ~ igamma(0.01,0.01)
 
Hyperprior:
  {var_U0 var_U1} ~ igamma(0.01,0.01)

(1) Parameters are elements of the linear form xb_math5.

Bayesian normal regression                       MCMC iterations  =      3,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      1,000
                                                 Number of obs    =        887
                                                 Acceptance rate  =      .2641
                                                 Efficiency:  min =    .009673
                                                              avg =     .02501
Log marginal-likelihood                                       max =     .04479



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

math5        
 
       math3 
 
  .6076992   .0399422   .005968   .6027789   .5351981   .6909692
       _cons 
 
  30.30091   .2693482   .060468   30.30717   29.77415   30.81859

       var_0 
 
   27.1167   1.143676     .1871   27.13383   24.40773   28.99094
      var_U0 
 
  3.644527   .3810517   .104254   3.632184   2.865729   4.504112
      var_U1 
 
  .0359823   .0132122   .004248   .0369494   .0121753   .0612364

Eredményeink hasonlóak a bayes: mixed véletlenszerű együtthatókba keverve.
Alapértelmezés szerint a bayesmh feltételezi, hogy az U0[id] és az U1[id] véletlenszerű hatások eleve függetlenek. De ezt módosíthatjuk úgy, hogy megadunk nekik egy többváltozós normális eloszlást strukturálatlan kovarianciamátrixszal {Sigma,m}. Ezenkívül megadunk egy inverz Wishart előtagot a kovariancia esetén {Sigma,m}.

. bayesmh math5 math3 U0[school] c.math3#U1[school], likelihood(normal({var_0}))
 prior({math5:}, normal(10000))
 prior({var_0}, igamma(0.01, 0.01))
 prior({U0[school] U1[school]}, mvn(2,0,0,{Sigma,m}))
 prior({Sigma,m}, iwishart(2,3,I(2)))
 rseed(17) mcmcsize(1000)

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaaaaa2000aaaaa done
Simulation 1000 .........1000 done


Model summary

Likelihood:
  math5 ~ normal(xb_math5,{var_0})
 
Priors:
      {math5:math3 _cons} ~ normal(0,10000)                                (1)
                  {var_0} ~ igamma(0.01,0.01)
  {U0[school] U1[school]} ~ mvnormal(2,0,0,{Sigma,m})                      (1)
 
Hyperprior:
  {Sigma,m} ~ iwishart(2,3,I(2))

(1) Parameters are elements of the linear form xb_math5.

Bayesian normal regression                       MCMC iterations  =      3,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      1,000
                                                 Number of obs    =        887
                                                 Acceptance rate  =      .2681
                                                 Efficiency:  min =     .02805
                                                              avg =     .03997
Log marginal-likelihood                                       max =     .05502



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

math5        
 
       math3 
 
  .6358644    .055642   .010505   .6413544   .5284978   .7378708
       _cons 
 
|  30.19804   .2872908   .049467   30.21301   29.62466   30.79241

       var_0 
 
  26.47047   1.316738    .20655   26.47233   23.97093   28.83548
   Sigma_1_1 
 
  4.355775   1.134325   .173332   4.251965   2.460442   6.865151
   Sigma_2_1 
 
  -.337147   .1266224    .01707  -.3318653  -.6110905  -.1305513
   Sigma_2_2 
 
  .0989839   .0211883   .003369   .0971182   .0633831   .1454557

Az eredmények ismét hasonlóak a bayes-ekhez: vegyes, kovariancia (strukturálatlan) véletlenszerű együtthatókban. Ahogy ebben a szakaszban, a bayesmh után bayesstats ic segítségével is összehasonlíthatnánk a strukturálatlan és független modelleket.
Az új mvnexchangeable() előtti opciót használhatjuk felcserélhető véletlen hatású kovariancia struktúra megadására is strukturálatlan. A cserélhető kovarianciát két paraméter jellemzi, a közös variancia és a korreláció. További paramétereket adunk meg ezekhez a paraméterekhez.

. bayesmh math5 math3 U0[school] c.math3#U1[school], likelihood(normal({var_0}))
 prior({math5:}, normal(10000))
 prior({var_0}, igamma(0.01, 0.01))
 prior({U0[school] U1[school]}, mvnexchangeable(2,0,0,{var_U},{rho}))
 prior({var_U}, igamma(0.01, 0.01)) prior({rho}, uniform(-1,1))
 rseed(17) mcmcsize(1000)

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaa....2000..... done
Simulation 1000 .........1000 done


Model summary

Likelihood:
  math5 ~ normal(xb_math5,{var_0})
 
Priors:
      {math5:math3 _cons} ~ normal(0,10000)                                (1)
                  {var_0} ~ igamma(0.01,0.01)
  {U0[school] U1[school]} ~ mvnexchangeable(2,0,0,{var_U},{rho})           (1)
 
Hyperpriors:
  {var_U} ~ igamma(0.01,0.01)
    {rho} ~ uniform(-1,1)

(1) Parameters are elements of the linear form xb_math5.

Bayesian normal regression                       MCMC iterations  =      3,500
Random-walk Metropolis–Hastings sampling         Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      1,000
                                                 Number of obs    =        887
                                                 Acceptance rate  =      .2192
                                                 Efficiency:  min =    .004793
                                                              avg =    .009362
Log marginal-likelihood                                       max =     .01871



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

math5        
 
       math3 
 
  .5981686   .0363804   .010405   .5997212    .525986   .6658922
       _cons 
 
  30.38414   .1865243   .043121   30.36968   30.02465   30.73264

       var_0 
 
  32.47519    .509181   .219875   32.45254   31.75455    33.4238
       var_U 
 
  .0635754   .0293628   .013412   .0574445   .0241849   .1300754
         rho 
 
 -.6144082   .2107051   .088129  -.6555609  -.9454211  -.2390335

A bayes-i többszintű modellekből más modelleket is beilleszthetünk a bayes előtag használatával a bayesmh használatával. Például a háromszintű túlélési modellt illeszthetnénk a használatával

. bayesmh time education njobs prestige i.female U[birthyear] UU[id<birthyear],
 likelihood(stexponential, failure(failure))
 prior({time:}, normal(0,10000)) prior({var_U var_UU}, igamma(0.01,0.01) split)

és a keresztezett hatású logisztikai modell használatával

. bayesmh attain_gt_6 sex U[sid] V[pid], likelihood(logit)
 prior({attain_gt_6:}, normal(0,10000)) prior({var_U var_V}, igamma(0.01,0.01))

De ezek a modellek már a bayes előtaggal is könnyen illeszthetők prefix. A következőkben olyan modelleket mutatunk be, amelyek nem illeszthetők a bayes-el:.

Nemlineáris többszintű modellek

A Bayes egyváltozós, nemlineáris többszintű modellek illeszthetők a bayesmh segítségével.
A bayesmh szintaxis megegyezik a menl paranccsal, amely illeszkedik a klasszikus nemlineáris vegyes hatású modellekhez, azzal a különbséggel, hogy a bayesmh emellett támogatja az olyan keresztezett effektusokat, mint az UV[id1#id2] és a látens tényezőket, például az L[_n].
Lásd: Háromszintű nemlineáris modell a [BAYES] bayesmh-ben.

SEM típusú modellek

A bayesmh segítségével illeszthet néhány szerkezeti egyenletmodellt (SEM) és az ezekhez kapcsolódó modelleket. A SEM-ek több változót elemeznek, és specifikációikban úgynevezett látens változókat használnak. A látens változó egy álváltozó, amelynek minden megfigyeléshez más, megfigyelhetetlen értéke van. A bayesmh, segítségével a látens változókat L[_n]. -ként adhatja meg.
Különböző látens változókat használhat különböző egyenletekben, ugyanazokat a látens változókat oszthatja meg az egyenletek között, korlátozhatja a látens változók együtthatóit és így tovább.
Példákért lásd a látens növekedési modellt és a cikk-válasz elméletet a [BAYES] bayesmh-ben.

A longitudinális és a túlélési adatok együttes modelljei

A bayesmh segítségével több különböző típusú eredmény modellezhető. Ilyen például a longitudinális és a túlélési eredmények együttes modellje. Ezek a modellek a gyakorlatban népszerűek három fő alkalmazásuk miatt:

1. Vegye figyelembe az informatív lemorzsolódást a longitudinális adatok elemzésénél.
2. A kiindulási kovariánsok vizsgálata a longitudinális és a túlélési eredményekre.
3. Tanulmányozza az időfüggő kovariánsok hatásait a túlélésre.

Az alábbiakban bemutatjuk az első alkalmazást, de ugyanaz a koncepció alkalmazható a másik kettőre is.
A klinikai vizsgálat pozitív és negatív tünetek skálájának (PANSS) adatainak verzióját fogjuk használni, összehasonlítva a skizofrénia különböző gyógyszeres kezelési módszereit (Diggle 1998). Az adatok PANSS-pontszámokat (panss) tartalmaznak azoktól a betegektől, akik három kezelést kaptak (treat):placebót, haloperidolt (referencia) és risperidont (új terápia). A PANSS pontszámok a pszichiátriai rendellenesség mérését jelentik. Szeretnénk megvizsgálni a kezelések PANSS pontszámokra gyakorolt hatását az idő (week) során.
A PANSS-pontszámok szempontjából figyelembe vett modell egy longitudinális lineáris modell, amely a kezelések, az idő (hetekben) és ezek kölcsönhatásának és véletlenszerű elfogásainak U[id] hatásait tartalmazza.

. bayesmh panss i.treat##i.week U[id], likelihood(normal({var}))

Tehát hogyan alakul itt a túlélési modell?
Sok alany kivonult ebből a vizsgálatból – csak a fele teljesítette a teljes mérési tervet. Sok alany a „nem megfelelő válaszadás” miatt esett ki, ami arra utal, hogy a lemorzsolódás informatív lehet, és az elemzés során nem lehet egyszerűen elhanyagolni.
A lemorzsolódási folyamat úgy tekinthető, mint egy túlélési folyamat, egy informatív lemorzsolódással (infdrop) mint érdekes esemény, és a lemorzsolódás idejével, mint túlélési idő. Mivel hosszanti adataink vannak, témánként több megfigyelés is van. Tehát a lemorzsolódás a week megfelelően több varázslatra oszlik, és így a kezdési idő (t0) és a befejezés ideje (t1). A bal t0, időpontban egy megfigyelést (vagy varázslatot) bal csonkának tekintünk. Feltételezünk egy Weibull túlélési modellt a lemorzsolódás folyamatához. A lemorzsolódás valószínűleg a kezeléssel függ össze, ezért azt a túlélési modellben előrejelzőként szerepeltetjük.

. bayesmh t1 i.treat, likelihood(stweibull({lnp}) failure(infdrop) ltruncated(t0))

Az informatív lemorzsolódás elszámolásának egyik módja az, hogy a longitudinális és a túlélési modellek között egy véletlenszerű hatást is beiktatunk, amely összefüggést indukál a longitudinális eredmény és a lemorzsolódási folyamat között (Henderson, Diggle és Dobson 2000).

. bayesmh (panss i.treat##i.week U[id]@1, likelihood(normal({var})))
         (t1 i.treat U[id], likelihood(stweibull({lnp}) failure(infdrop) ltruncated(t0)))

Véletlenszerű elfogásokat adtunk a longitudinális modellből a túlélési modellbe. Az U[id] együtthatóját az első egyenletben 1-re is korlátoztuk. Ezt azért tettük, hogy hangsúlyozzuk, hogy csak az U[id] együtthatóját becsüljük meg a második egyenletben. A bayesmh ezt a feltevést alapértelmezés szerint automatikusan automatikusan elvégzi.
A fenti modellhez illeszkedve meg kell adnunk a modell paramétereinek előzetes eloszlását. Sok paraméterünk van, ezért lehet, hogy meg kell adnunk kissé informatív priorokat. Emlékezzünk arra, hogy a Bayes-modellek a fő modellparaméterek mellett megbecsülik az összes véletlen hatású paramétert is U[id].
Ha a lemorzsolódás hatással van a PANSS pontszámaira, ésszerű azt feltételezni, hogy ez pozitív lesz. Tehát megadunk egy exponenciális priorot az 1. skálával az U[id] együtthatóhoz a túlélési modellben. Megadjuk a normál priorokat 0-s átlaggal és 1000-es szórással az állandó {panss:_cons} és Weibull {lnp}. paraméterre. Feltételezzük, hogy más regressziós együtthatók esetén normális priorok 0-val és 100-as varianciával rendelkeznek. És inverziós gamma priorokat használunk, amelyek alakja és skálája 0,01 a variancia komponensekre. A mintavétel hatékonyságának javítása érdekében Gibbs mintavételt alkalmazunk a variancia komponensekre, és egyéb paramétereket blokkolunk. Néhány paraméterhez megadjuk a kezdeti értékeket is a initial() opció használatával.

. bayesmh (panss i.treat##i.week U[id]@1, likelihood(norm({var})) )
         (t1 i.treat U[id], likelihood(stweibull({lnp}), failure(dropinf) ltruncated(t0))),
 prior({panss:_cons} {lnp},     normal(0,10000))
 prior({panss:i.treat##i.week}, normal(0,100))
 prior({t1:i.treat _cons},      normal(0,100))  
 prior({t1:U},                  exponential(1))                               
 prior({var_U} {var},           igamma(.01, .01) split)
 block({panss:i.treat#i.week}) block({panss:i.week})
 block({t1:i.treat U _cons}, split)
 block({var_U} {var}, split gibbs)
 initial({t1:U} 1 {U[id]} 10 {panss:_cons} 100)
 mcmcsize(2500) rseed(17)
  
Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaaaaa2000aaaaa done
Simulation 2500 .........1000.........2000..... done


Model summary

Likelihood: 
  panss ~ normal(xb_panss,{var})
     t1 ~ stweibull(xb_t1,{lnp})
 
Priors: 
                          {panss:_cons} ~ normal(0,10000)                  (1)
  {panss:i.treat i.week i.treat#i.week} ~ normal(0,100)                    (1)
                                {U[id]} ~ normal(0,{var_U})                (1)
                                  {var} ~ igamma(.01,.01)
                     {t1:i.treat _cons} ~ normal(0,100)                    (2)
                                 {t1:U} ~ exponential(1)                   (2)
                                  {lnp} ~ normal(0,10000)
 
Hyperprior: 
  {var_U} ~ igamma(.01,.01)

(1) Parameters are elements of the linear form xb_panss.
(2) Parameters are elements of the linear form xb_t1.

Bayesian normal regression                       MCMC iterations  =      5,000
Metropolis–Hastings and Gibbs sampling           Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      2,500
No. of subjects =        685                     Number of obs    =        685
No. of failures =         63
Time at risk    =863.6239911317825
                                                 Acceptance rate  =      .4608
                                                 Efficiency:  min =    .003913
                                                              avg =     .03232
Log marginal-likelihood                                       max =      .2742


 
              
 
                                                Equal-tailed
              
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

 panss        
 
        treat 
 
           2  
 
 -.3822383   2.271158   .359186  -.6136486  -4.434188   4.837333
           3  
 
 -2.523494    3.80129   1.21543  -2.476083  -9.917332   4.074579
              
 
         week 
 
           1  
 
 -4.993821   1.896496   .305945  -5.012834  -8.444717   -2.05126
           2  
 
 -6.936372    1.57161   .453628  -6.939513  -10.50464  -3.908946
           4  
 
 -4.844521   1.251981   .166785  -4.877955  -7.435107  -2.411917
           6  
 
 -10.18118   1.816353   .361756  -10.03946   -14.2258   -6.98241
           8  
 
 -10.25389   1.943371   .215791  -10.24783  -14.31332  -6.847999
              
 
   treat#week 
 
         2 1  
 
  6.310975   2.434069   .390195    6.23198   1.213006   10.90485
         2 2  
 
  7.027649   1.762338   .388778   6.840791   4.187137    10.5907
         2 4  
 
  5.048269   1.863907   .351182    4.95867   1.458491   8.918415
         2 6  
 
  15.32668   3.174594   .558032   14.99079   9.634857   21.59519
         2 8  
 
  15.06479   3.072411   .646168   15.33875   8.316151   20.73611
         3 1  
 
 -4.369372   2.892201   .659758  -4.479573  -9.651484   1.705437
         3 2  
 
 -3.592772   2.198812   .444487  -3.576276  -7.864927    .982366
         3 4  
 
 -11.22279   2.857886    .70199  -11.46703   -16.1155   -4.78894
         3 6  
 
 -6.514449    1.87237   .483044  -6.457851  -9.986309  -2.939939
         3 8  
 
 -2.078064   2.111598   .334112   -2.20723  -6.045809   1.881032
              
 
            U 
 
         1          0         0          1          1          1
        _cons 
 
  92.73873   2.162198   .367931   92.93747   88.40111   96.73237

t1           
 
           U 
 
  .0596402   .0100107     .0009   .0598603   .0399564   .0783648
             
 
       treat 
 
          2  
 
  .7984438   .3316247   .043614   .8106603   .1467264   1.457444
          3  
 
 -.5172767   .4007821   .070892  -.5204102  -1.312922   .2484082
             
 
       _cons 
 
 -4.179667   .3958759   .082368   -4.19354  -4.944542  -3.359592

         var 
 
  160.0879   9.848987   .376194   159.7498     142.23   180.8697
         lnp 
 
  .4849039   .0896179   .019375   .4879265   .2611824   .6596941
       var_U 
 
  289.2579   39.46373   1.72886   285.8929   222.4319    372.773

Nem fogunk összpontosítani a modell összes eredményének értelmezésére, de kommentáljuk a megosztott véletlenszerű elfogás {t1:U} együtthatóját. Becslések szerint 0,06, és 95% -os hiteles intervalluma nem tartalmaz 0-t. Ez azt jelenti, hogy pozitív összefüggés van a PANSS pontszámai és a lemorzsolódások között: minél magasabb a PANSS pontszám, annál nagyobb az esély a lemorzsolódásra. Tehát az egyszerű longitudinális elemzés nem lenne megfelelő ezekhez az adatokhoz.

Többváltozós, nemlineáris növekedési modellek

A hierarchikus lineáris és nemlineáris növekedési modellek sok tudományterületen népszerűek, mint például az egészségtudomány, az oktatás, a társadalomtudományok, a mérnöki tudományok és a biológia. A többváltozós lineáris és nemlineáris növekedési modellek különösen hasznosak a biológiai tudományokban a vadon élő fajok szaporodásának tanulmányozásához, ahol a növekedést több, gyakran összefüggő méréssel írják le. Az ilyen modelleknek gyakran sok paraméterük van, és a klasszikus módszerekkel nehezen illeszthetők. A Bayes-becslés életképes alternatívát kínál.
A fenti modelleket a bayesmh többszörös egyenlet-specifikációkkal illesztheti be, amelyek már támogatják a véletlenszerű hatásokat és a látens tényezőket. Az egyenletek lehetnek mind lineárisak, mind nemlineárisak, vagy a két típus keverékei. Különböző módon modellezhetjük a több kimenetű (egyenletek) közötti függőséget. Például ugyanazokat a véletlenszerű effektusokat, de különböző együtthatóval felveheti a különböző egyenletekbe, vagy felvehet különböző véletlenszerű effektusokat, de az előző eloszláson keresztül korrelálhat velük.
Kövessük Jones et al. (2005), aki Bayes kétváltozós növekedési modellt alkalmazott a fekete homlokú csércsibék növekedésének tanulmányozására. A növekedést y1 szárnyhosszal és y2 tömeggel mértük. Lineáris növekedési modellt feltételezünk szárnyhosszra, logisztikai növekedési modellt feltételezünk súlyára.

where d

$d$

$d$ is a fixed parameter, (Ui,Vi,Ci,Bi)∼N(μ,Σ)

$(U_i,V_i,C_i,B_i)\sim N(\mu ,\mathrm{\Sigma })$

$(U_i, V_i, C_i, B_i) \sim N(\mu, \Sigma)$,
and (ε1,ε2)∼N(0,Σ0)

$({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)\sim N(0,{\mathrm{\Sigma }}_0)$

$(\varepsilon_1, \varepsilon_2) \sim N(0, \Sigma_0)$.

Négy véletlenszerű hatás van egyéni (csaj) szinten: U

$U$

$U$ and V

$V$

$V$
are the intercept and growth rate for the wings. In the equation for y2

$y_2$

$y_2$,
we have random effects B

$B$

$B$ and C

$C$

$C$, which represent the rate and maximum
weight. The location parameter is assumed to take the form dC

$dC$

$dC$, where d

$d$

$d$
is a constant. (U,V,C,B)

$(U,V,C,B)$

$(U, V, C, B)$ kövesse a többváltozós normál eloszlást strukturálatlan kovariancia. A két egyenlet hibái a kétváltozós normális eloszlás.
A Jones et al. leírás alapján szimulált kitalált adatkészletet használunk. (2005). Kétváltozós normál modellt illesztünk hibakovarianciával {Sigma0,m}. A négy véletlenszerű hatáshoz egy többváltozós normál van hozzárendelve, a megfelelő átlagos paraméterekkel és kovarianciával {Sigma,m}. A korábbi átlagokhoz normális eloszlásokat rendelünk, 0-s átlaggal és 100-as szórással. A kovariancia mátrixok inverz Wishart priorokhoz vannak rendelve. A d paraméterhez exponenciális előtagot rendelünk az 1. skálával. Gibbs mintavételt alkalmazunk a kovariancia mátrixokhoz és a blokkparaméterekhez a hatékonyság javítása érdekében. Megadjuk a kezdeti értékeket is, kisebb, 2500-as MCMC-méretet használunk, és a reprodukálhatóság szempontjából megadunk egy véletlenszámú magot.

. bayesmh (y1 = ({U[id]} + time*{V[id]}))
         (y2 = ({C[id]}/(1+{d}*{C[id]}*exp(-{B[id]}*time)))),
 likelihood(mvnormal({Sigma0,m}))
 prior({U[id] V[id] C[id] B[id]}, mvnormal(4,{u},{v},{c},{b},{Sigma,m}))
 prior({u v c b},  normal(0, 100))
 prior({Sigma0,m}, iwishart(2,3,I(2)))
 prior({Sigma,m},  iwishart(4,5,I(4)))
 prior({d}, exp(1))
 block({d u v b c}, split)
 block({Sigma0,m} {Sigma,m}, gibbs)
 init({U[id] u} -10 {V[id] v} 10 {C[id] c} 100 {d} 1)
 mcmcsize(2500) rseed(17)

Burn-in 2500 aaaaaaaaa1000aaaaaaaaa2000aaaaa done
Simulation 2500 .........1000.........2000..... done


Model summary

Likelihood:
  y1 y2 ~ mvnormal(2,,,{Sigma0,m})
 
Priors:
                 {Sigma0,m} ~ iwishart(2,3,I(2))
  {U[id] V[id] C[id] B[id]} ~ mvnormal(4,{u},{v},{c},{b},{Sigma,m})
                        {d} ~ exponential(1)
 
Hyperpriors:
  {u v c b} ~ normal(0,100)
  {Sigma,m} ~ iwishart(4,5,I(4))
 
Expressions:
  expr1 : {U[id]} + time*{V[id]}
  expr2 : {C[id]}/(1+{d}*{C[id]}*exp(-{B[id]}*time))



Bayesian multivariate normal regression          MCMC iterations  =      5,000
Metropolis–Hastings and Gibbs sampling           Burn-in          =      2,500
                                                 MCMC sample size =      2,500
                                                 Number of obs    =        414
                                                 Acceptance rate  =      .4713
                                                 Efficiency:  min =     .01174
                                                              avg =      .2265
Log marginal-likelihood                                       max =      .7028



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

           d 
 
  .0634061   .0025888   .000478   .0635744   .0579154   .0680656
           u 
 
 -12.84796   3.011731   .255283  -12.97586  -18.25202  -6.451113
           v 
 
  5.977761   .2446379   .023368   5.990374   5.422395   6.404792
           c 
 
  78.42872   3.602142   .368536    78.7988   70.10973   84.34357
           b 
 
  .2208688   .0471093   .002637   .2229167   .1242395   .3148616
  Sigma0_1_1 
 
  7.956314   .5825538   .017417   7.926544   6.871581   9.158582
  Sigma0_2_1 
 
  2.625951   .6406367   .021819   2.632427   1.430312   3.875557
  Sigma0_2_2 
 
  18.85203   1.342218   .038113   18.81303   16.36956   21.67296
   Sigma_1_1 
 
  192.8405   67.11091   2.92639   179.5316    101.754   362.8648
   Sigma_2_1 
 
 -8.029962   4.209058    .21859  -7.334189  -17.74035  -1.783869
   Sigma_3_1 
 
 -108.4137   63.18093   3.39159  -97.77067  -258.3206  -18.55377
   Sigma_4_1 
 
  .4582266   .6998019   .021466   .4405483  -.8234645   1.983518
   Sigma_2_2 
 
  1.193545   .4200058   .025011    1.10642   .6352668   2.223882
   Sigma_3_2 
 
  12.45667   5.664299   .404336   11.29209   5.259565   27.34906
   Sigma_4_2 
 
 -.0023492   .0557342   .001842  -.0034794  -.1104773   .1078309
   Sigma_3_3 
 
  234.2312   95.14968   6.93288   212.8518   117.8635   471.0824
   Sigma_4_3 
 
 -.2949588    .829987   .032991  -.2727646  -2.063978   1.386505
   Sigma_4_4 
 
  .0454308   .0136201   .000325   .0428103   .0257433   .0790052

Pozitív, 0,21 korreláció van a hibakifejezések között.
Kiszámítjuk a szárny növekedési üteme és a maximális súly közötti összefüggést is.

. bayesstats summary (corr24: {Sigma_2_3}/sqrt({Sigma_2_2}*{Sigma_3_3}))

Posterior summary statistics                      MCMC sample size =     2,500

      corr24 :  {Sigma_2_3}/sqrt({Sigma_2_2}*{Sigma_3_3})



             
 
                                                Equal-tailed
             
 
      Mean   Std. dev.     MCSE     Median  [95% cred. interval]

      corr24 
 
  .7328452   .1065301   .005605   .7508832   .4838739   .8959725

A becsült korreláció 0,73, ami magas. A szárnyhossz és a súly mérése egyértelműen korrelál, ezért közösen kell modellezni őket.

Referenciák

Diggle, P. J. 1998. Dealing with missing values in longitudinal studies. In Recent Advances in the Statistical Analysis of Medical Data, ed. B. S. Everitt and G. Dunn, 203–228. London: Arnold.
Henderson, R., P. Diggle, and A. Dobson. 2000. Joint modeling of longitudinal measurements and event time data. Biostatistics 4: 465–480.
Jones, G., R. J. Keedwell, A. D. L. Noble, and D. I. Hedderley. 2005. Dating chicks: Calibration and discrimination in a nonlinear multivariate hierarchical growth model. Journal of Agricultural, Biological, and Environmental Statistics 10: 306–320.
Mortimore, P., P. Sammons, L. Stoll, D. Lewis, and R. Ecob. 1988. School Matters: The Junior Years. Somerset, UK: Open Books.

További források

Tudjon meg többet a Stata Bayes-i elemzési kézikönyvből.
Lásd Bayes-i longitudinális / panel-adat modelleket.
Lásd a bayesi többszintű modelleket a bayes előtag használatával.